Qeyri-səlis çoxluq

${\displaystyle X}$ sıfırdan fərqli bir universal çoxluq olaraq seçilsin. Bir ${\displaystyle A:X\to [0,1]}$ funksiyasına ${\displaystyle X}$ üzərində bir qeyri-səlis çoxluq adı verilir.

Qeyri-səlis çoxluq müxtəlif cür də göstərilə bilər ancaq çoxluğun hər nöqtə üçün ${\displaystyle [0,1]}$ aralığında (qapalı) bir qiymət alması baxımından bu təsvirlərin hamısı bir-birinə bərabərdir..

Bir ${\displaystyle x}$∈${\displaystyle X}$ elementi üçün ${\displaystyle A(x)}$ qiymətinə ${\displaystyle x}$-in A-dakı elementlik dərəcəsi deyilir. Bu qiymət kimi zaman ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$ ilə də göstərilir. ${\displaystyle A(x)=1}$ olması klassik çoxluq anlayışında ${\displaystyle x}$ -in ${\displaystyle A}$-nın elementi olması, ${\displaystyle A(x)=0}$ olması isə klassik çoxluqlarda ${\displaystyle x}$ -in ${\displaystyle A}$-nın elementi olmaması mənasına gəlir.

Əgər ${\displaystyle x}$ üçün ${\displaystyle A(x)=\alpha }$ isə ${\displaystyle x}$∈^α${\displaystyle A}$ yazılır və ${\displaystyle x}$-in ${\displaystyle A}$ qeyri-səlis çoxluğunun ${\displaystyle \alpha }$ dərəcəsində elementi olduğu deyilir.

Məsələn ${\displaystyle A(x)=0,5}$ yəni, ${\displaystyle x}$∈^0,5${\displaystyle A}$ olması ${\displaystyle x}$-in ${\displaystyle A}$-nın yarı-yarıya elementi olması şəklində göstərilir. ∈¹ klassik ∈, ∈⁰ klassik ∉ simvoluna qarşılıq gəlir.

${\displaystyle A}$ və ${\displaystyle B}$ boş olmayan bir ${\displaystyle X}$ çoxluğu üzərində iki qeyri-səlis çoxluq olsun. Hər ${\displaystyle x\in X}$ üçün ${\displaystyle A(x)\leq B(x)}$ olursa ${\displaystyle A\subseteq B}$ və ya ${\displaystyle A\leq B}$ yazılır və ${\displaystyle A}$-nın ${\displaystyle B}$ -nin bir qeyri-səlis alt çoxluğu olduğu deyilir. ${\displaystyle A}$ və ${\displaystyle B}$ qeyri-səlis çoxluğun bərabərliyi, hər ${\displaystyle x}$ ∈ ${\displaystyle X}$ üçün ${\displaystyle A(x)=B(x)}$ olması ilə göstərilir. Buna görə ${\displaystyle A}$-nın ${\displaystyle B}$yə bərabər olması eyni zamanda həm ${\displaystyle A\subseteq B}$ həm də ${\displaystyle B\subseteq A}$ olması deməkdir.

${\displaystyle X}$ üzərindəki bütün qeyri-səlis çoxluğu hər ${\displaystyle x}$∈${\displaystyle X}$ üçün ${\displaystyle X(x)=1}$ ilə göstərilən ${\displaystyle X}$ qeyri-səlis alt çoxluğu ikən, hər ${\displaystyle x}$∈${\displaystyle X}$ üçün ${\displaystyle \varnothing (x)=0}$ ilə göstərilən ${\displaystyle \varnothing }$ qeyri-səlis çoxluğu ${\displaystyle X}$dəki bütün qeyri-səlis çoxluğun alt çoxluğudur. Bəzən ${\displaystyle X}$ və ${\displaystyle \varnothing }$ simvolları yerinə sırasıyla ${\displaystyle 1_{X}}$ və ${\displaystyle 0_{X}}$ və ya qısaca ${\displaystyle 1}$ və ${\displaystyle 0}$ istifadə edilir.

Çoxluqlar üçün qəbul edilən birləşmə, kəsişmə, karteziyan vurması kimi əməliyyatların hamısı qeyri-səlis çoxluğada şamil edilir. İki bulanık kümenin birleşimi ${\displaystyle A\cup B}$ veya ${\displaystyle A\lor B}$ ile gösterilir ve bu kümeye eleman olma dərəcəsi hər ${\displaystyle x}$∈${\displaystyle X}$ için ${\displaystyle (A\cup B)(x)=maks\{A(x),B(x)\}}$ olarak tanımlanır.

İki qeyri-səlis çoxluğun birləşməsi ${\displaystyle A\cup B}$ və ya ${\displaystyle A\lor B}$ ilə göstərilir ve bu çoxluğa element olma dərəcəsi hər ${\displaystyle x}$∈${\displaystyle X}$ üçün ${\displaystyle (A\cup B)(x)=maks\{A(x),B(x)\}}$ olaraq göstərilir.

İki qeyri-səlis çoxluğun kəsişməsi isə ${\displaystyle A\cap B}$ və ya ${\displaystyle A\land B}$ ilə göstərilir və bu çoxluğa element olma dərəcəsi hər ${\displaystyle x}$∈${\displaystyle X}$ üçün ${\displaystyle (A\cap B)(x)=min\{A(x),B(x)\}}$ olaraq göstərilir.

${\displaystyle A}$ və ${\displaystyle B}$ sırasıyla ${\displaystyle X}$ və ${\displaystyle Y}$ çoxluğu üzərində qeyri-səlis çoxluqlar isə ${\displaystyle A\times B}$ də ${\displaystyle X\times Y}$ üzərində bir qeyri-səlis çoxluqdur və hər ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$ üçün ${\displaystyle (A\times B)(x,y)=min\{A(x),B(y)\}}$ şəklində göstərilir.

İki çoxluq üçün göstərilən bu əməliyyatlar maksimum və minimum yerinə sırasıyla supremum və infimum alınaraq hər hansı sayıdakı qeyri-səlis çoxluq ailəsinə genişləndirilə bilər.

• Qeyri-səlis məntiq
• Çoxluq