Sankt-Peterburq paradoksu

Sankt-Peterburq paradoksu və ya Sankt-Peterburq lotereyası^[1] — sikkənin atılması üzərində qurulan bir oyuna aid paradoks. Bu oyunda lotereyanın gözlənilən qazancı sonsuzdur, lakin buna baxmayaraq, iştirakçılar üçün yalnız çox kiçik bir məbləğə dəyərli kimi görünür. Sankt-Peterburq paradoksu elə bir vəziyyəti təsvir edir ki, yalnız gözlənilən dəyərə əsaslanan sadəlövh qərar meyarı, real heç bir insanın qəbul etməyəcəyi bir davranış yolunu proqnozlaşdırır. Paradoksun bir sıra həll variantları təklif olunmuşdur; bunlara, məsələn, kazinonun oyunu sonsuzadək davam etdirməsi üçün tələb olunan qeyri-mümkün dərəcədə böyük pul məbləği də daxildir.

Problem Nikolaus Bernulli (Nicolas Bernoulli) tərəfindən irəli sürülmüşdür;^[2] o, bu məsələni 9 sentyabr 1713-cü ildə Pyer Raymond de Monmora yazdığı məktubda ifadə etmişdir.^[3]^[4] Bununla belə, paradoks adını Nikolausun əmisi oğlu Daniel Bernullinin təhlilindən almışdır. O, bir müddət Sankt-Peterburqda yaşamış və 1738-ci ildə bu problemə dair fikirlərini Sankt-Peterburq İmperator Elmlər Akademiyasının Şərhlərində dərc etdirmişdir.^[5]

Sankt-Peterburq oyunu

Kazino tək bir oyunçu üçün şans oyunu təklif edir; bu oyunda hər mərhələdə ədalətli sikkə atılır. İlkin mərc 2 dollarla başlayır və hər dəfə “gerb” (tails) düşdükdə ikiqat artır. İlk dəfə “yazı” (heads) düşən anda oyun bitir və oyunçu həmin anda mövcud olan məbləği qazanır. Beləliklə, əgər yazı ilk atışda düşərsə, oyunçu 2 dollar qazanır; əgər ilk atışda gerb, ikinci atışda yazı düşərsə 4 dollar qazanır; əgər ilk iki atışda gerb, üçüncü atışda yazı düşərsə 8 dollar qazanır və s. Riyazi olaraq, oyunçu $2^{k+1}$ dollar qazanır; burada $k$ ardıcıl gerb atışlarının sayıdır.^[5] Bu oyuna qatılmaq üçün kazinoya ödənilməli olan ədalətli qiymət nə qədər olmalıdır?

Bu suala cavab vermək üçün hər mərhələdə gözlənilən qazancı nəzərə almaq lazımdır: 1/2 ehtimalla oyunçu 2 dollar qazanır; 1/4 ehtimalla 4 dollar; 1/8 ehtimalla 8 dollar və s. Fərz edək ki, oyun sikkə gerb gəldiyi müddətcə davam edə bilər və xüsusilə də kazinonun resursları məhdud deyil. Bu halda gözlənilən dəyər belədir:

{\begin{aligned}E&={\frac {1}{2}}\cdot 2+{\frac {1}{4}}\cdot 4+{\frac {1}{8}}\cdot 8+{\frac {1}{16}}\cdot 16+\cdots \\&=1+1+1+1+\cdots \\&=\infty \,.\end{aligned}}

Bu cəm məhdudiyyətsiz şəkildə artır, buna görə də gözlənilən qazanc sonsuz pul məbləğinə bərabərdir.

Paradoks

Əgər yalnız insanın pul sərvətindəki xalis dəyişmənin gözlənilən dəyəri nəzərə alınarsa, belə çıxır ki, imkan verildiyi təqdirdə, oyun istənilən qiymətə oynanılmalıdır. Lakin Daniel Bernulli, oyunu ilkin mərc olaraq bir dukatla təsvir etdikdən sonra belə yazırdı: “Standart hesablamaya görə [oyunçunun] gözləntisinin dəyəri sonsuz dərəcədə böyükdür, lakin … etiraf edilməlidir ki, hər hansı ağlabatan insan öz şansını böyük məmnuniyyətlə iyirmi dukata satardı.”^[5] Robert Martin İen Hakkinqdən sitat gətirərək qeyd edir: “Bizim çox azımız belə bir oyuna girmək üçün hətta 25 dollar belə ödəyərdik”, və o əlavə edir ki, şərhçilərin əksəriyyəti bu fikirlə razılaşar.^[6] Görünən paradoks ondan ibarətdir ki, insanların oyuna girmək üçün ödəməyə hazır olduqları məbləğ ilə sonsuz gözlənilən dəyər arasında ciddi uyğunsuzluq mövcuddur.^[5]

İstinadlar

↑ Weiss, Michael D. Conceptual foundations of risk theory. U.S. Dept. of Agriculture, Economic Research Service. 1987. səh. 36.
↑ Plous, Scott. Chapter 7 // The psychology of decision-making. McGraw-Hill Education. 1 yanvar 1993. ISBN 978-0-07-050477-6.
↑ Eves, Howard. An Introduction To The History of Mathematics (6th). Brooks/Cole – Thomson Learning. 1990. səh. 427.
↑ de Montmort, Pierre Remond. Essay d'analyse sur les jeux de hazard [Essays on the analysis of games of chance] (Reprinted in 2006) (fransız) (Second). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 1713. ISBN 978-0-8218-3781-8. Translated by Pulskamp, Richard J. "Correspondence of Nicolas Bernoulli concerning the St. Petersburg Game" (PDF). 1 yanvar 2013. 14 aprel 2021 tarixində arxivləşdirilib (PDF). İstifadə tarixi: 22 iyul 2010.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Bernoulli, Daniel; originally published in 1738 ("Specimen Theorize Naval de Mensura Sortis", "Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae"); translated by Dr. Louise Sommer. "Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk". Econometrica. 22 (1). yanvar 1954: 22–36. doi:10.2307/1909829. JSTOR 1909829. İstifadə tarixi: 30 may 2006.
↑ Martin, Robert. The St. Petersburg Paradox // Zalta, Edward N. (redaktor). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Stanford, California: Stanford University. Fall 2004. ISSN 1095-5054. İstifadə tarixi: 30 may 2006.

[1] Weiss, Michael D. Conceptual foundations of risk theory. U.S. Dept. of Agriculture, Economic Research Service. 1987. səh. 36.

[2] Plous, Scott. Chapter 7 // The psychology of decision-making. McGraw-Hill Education. 1 yanvar 1993. ISBN 978-0-07-050477-6.

[3] Eves, Howard. An Introduction To The History of Mathematics (6th). Brooks/Cole – Thomson Learning. 1990. səh. 427.

[:4-4] de Montmort, Pierre Remond. Essay d'analyse sur les jeux de hazard [Essays on the analysis of games of chance] (Reprinted in 2006) (fransız) (Second). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 1713. ISBN 978-0-8218-3781-8. Translated by Pulskamp, Richard J. "Correspondence of Nicolas Bernoulli concerning the St. Petersburg Game" (PDF). 1 yanvar 2013. 14 aprel 2021 tarixində arxivləşdirilib (PDF). İstifadə tarixi: 22 iyul 2010.

[:1-5] ¹ ² ³ ⁴ Bernoulli, Daniel; originally published in 1738 ("Specimen Theorize Naval de Mensura Sortis", "Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae"); translated by Dr. Louise Sommer. "Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk". Econometrica. 22 (1). yanvar 1954: 22–36. doi:10.2307/1909829. JSTOR 1909829. İstifadə tarixi: 30 may 2006.

[6] Martin, Robert. The St. Petersburg Paradox // Zalta, Edward N. (redaktor). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Stanford, California: Stanford University. Fall 2004. ISSN 1095-5054. İstifadə tarixi: 30 may 2006.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]